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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 19

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E z d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.

Passo 1

Oi, galera! Tudo bem?

A questão quer o valor da integral:

∭ E z   d V

onde E está entre as esferas

x 2 + y 2 + z 2 = 1

e

x 2 + y 2 + z 2 = 4

no primeiro octante.

Bom, vemos que o que falta na nossa integral são os limites de integração da região E . Então de acordo com a descrição da região E dada no enunciado nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas esféricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:

x = ρ   s e n ϕ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

E:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Também usamos a equação:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Bora lá!

Passo 2

Podemos começar escrevendo nossa função em coordenadas esféricas.

∭ E z   d V

Como:

z = ρ cos ⁡ ϕ

Teremos:

∭ E ρ cos ⁡ ϕ   d V

Então vamos encontrar os limites de integração da nossa região E .

Passo 3

Vamos entender nossa região E , onde E está entre as esferas

x 2 + y 2 + z 2 = 1

e

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Usando nossa equação:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Temos que nossa região está entre:

ρ 2 = 1

E:

ρ 2 = 4

Tirando a raiz quadrada nessas duas equações temos que:

1 ≤ ρ ≤ 2

Como nosso sólido está limitado no primeiro octante, no plano x y ele vai percorrer somente um quadrante, que é o quadrante onde x e y são positivos, então:

0 ≤ θ ≤ π 2

Já para ϕ temos o ângulo partindo do eixo z até o plano x y , já que no primeiro octante os valores de z também devem ser positivos, então:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir. Usando:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Ficamos com:

∭ E z d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Multiplicando os termos:

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 3 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Como temos uma multiplicação dentro da integral podemos reescrever como uma multiplicação de integrais, cada qual em relação a sua variável:

= ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ

Passo 5

Vamos resolver as três separadamente:

Com a primeira vamos fazer uma Substituição.

u = sen ⁡ ϕ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ = ∫ 0 1 u d u

Integrando, temos:

∫ 0 1 u d u = u 2 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

= 1 2 2 - 0 2 2 = 1 2

Passo 6

Com a segunda:

∫ 0 π 2 d θ

Resolvendo a integral:

= θ 0 π 2

Aplicando os limites de integração:

= π 2 - 0 = π 2

E por último com a terceira:

∫ 1 2 ρ 3 d ρ = ρ 4 4 1 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 4 4 - 1 4 4 = 15 4

Passo 7

Pronto, agora é só juntar:

∭ E z d V = ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ

Substituindo nossos resultados:

∭ E z d V = 1 2 ⋅ π 2 ⋅ 15 4 = 15 π 16

Resposta

∭ E z d V = 15 π 16

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