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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 21

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V , onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo joia?

A questão pede para usarmos coordenadas esféricas para calcularmos o valor da integral tripla:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V

Na região B , que é a bola com centro na origem e raio 5.

Bom, vemos que o que falta na nossa integral são os limites de integração da região B . Então de acordo com a descrição da região B dada no enunciado nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas esféricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:

x = ρ   s e n ϕ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

E:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Também usamos a equação:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nossa função do integrando em coordenadas esféricas:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 2

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo, teremos:

f ρ , θ , ϕ = ρ 2 2

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração de B . Como B é a bola com centro na origem e raio 5, nossa ρ que representa o raio de uma esfera vai variar assim:

0 ≤ ρ ≤ 5

No plano, temos uma circunferência completa, então θ assume todos os valores possíveis:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Como temos uma esfera completa, nosso ϕ que parte do eixo z positivo até z negativo, fica:

0 ≤ ϕ ≤ π

Sabendo que:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Pronto, agora é só substituir:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ρ 2 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Passo 4

Agora é só calcularmos nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ρ 2 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ =

Como temos a integral de um produto de funções, podemos separá-las com um produto de integrais, cada qual com sua respectiva variável de integração:

= ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 5 ρ 6 d ϕ

Resolvendo cada uma das integrais:

= - cos ⁡ ϕ 0 π θ 0 2 π ρ 7 7 0 5

Aplicando os limites de integração:

= - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 2 π - 0 5 7 7 - 0 7 7

Teremos, por fim:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V = 1 + 1 2 π 5 7 7 ≈ 140249,7

Resposta

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V ≈ 140249,7

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Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 = x^2 + y^2 + z^2 = 9 .
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