Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 24
Repita o exercício , considerando agora o projétil disparado de uma posição acima do solo.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos relembrar um pouco do outro exercício. Lembrem lá da física que movimento de projéteis é a combinação de dois movimentos:
- Na horizontal temos um movimento retilíneo uniforme, sem aceleração (velocidade constante).
- Na vertical temos um movimento retilíneo uniformemente variado, com aceleração da gravidade no sentido negativo do eixo .
As equações de movimento são essas aqui ó:
Na horizontal:
Na vertical:
Já que temos velocidade inicial e um ângulo de elevação, vamos ter componentes vertical e horizontal da velocidade.
Com essas informações, vamos fazer o seguinte:
- Calcularemos o alcance do projétil com dois passos. O primeiro será o cálculo do tempo total de voo, utilizando a equação paramétrica . Depois, substituiremos o tempo de voo na equação paramétrica para obter a posição máxima na horizontal, o alcance.
- A altura máxima atingida será dada pela maximização da função , que dá a posição vertical do projétil.
- Aqui vamos usar o tempo de voo para obter a velocidade final do projétil em e , ou seja, as componentes do vetor velocidade. Depois disso, vamos calcular o módulo desse vetor.
Tranquilo? Então vem comigo.
Passo 2
Fazendo a decomposição de vetores teremos:
O alcance do projétil vai ser dado quando o projétil retorna ao solo. Para isso, vamos determinar primeiro quanto tempo ele leva voando, ou seja, para quais valores de que o projétil passa pelas posições (posição inicial) e . Admitindo que a gravidade é :
Aplicando a fórmula de Bháskara:
A raiz negativa não tem sentido fisicamente, apenas matematicamente. Sendo assim, a solução possível é:
Bom, agora é só substituir na equação para a posição na horizontal:
Assim o alcance é
Passo 3
A altura máxima atingida é quando a componente vertical da velocidade é zero. Lembrando que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, é só derivar a equação da posição na vertical:
E para saber quando o projétil atinge a altura máxima devemos fazer :
E a altura máxima pode ser encontrada pela função horária da posição vertical:
A altura máxima então é
O mesmo resultado da questão anterior. Vejam que a posição inicial do projétil não tem influência na altura máxima que ele chega
Passo 4
A velocidade escalar no impacto vai ser dado pelo módulo do vetor velocidade no instante do impacto. Lembram que falei que a velocidade é a derivada temporal da posição? Pois é, vamos montar o vetor posição na forma vetorial:
O vetor velocidade vai ser a derivada desse vetor aqui em cima em relação ao tempo:
Sabemos que o tempo de voo (lá do passo ) é de segundos, então agora podemos calcular o vetor velocidade nesse instante. Basta substituir na equação acima e obteremos:
E o módulo vai ser:
O módulo é ligeiramente maior do que no instante inicial! Isso se deve ao fato de que, quando a projétil parte de uma altura inicial, ele vai ter sua velocidade inicial. Vai subir momentaneamente parar e descer. Quando passar pela mesma altura inicial, o módulo da sua velocidade vai ser igual à velocidade inicial. Mas ele segue descendo e, portando, aumentando sua velocidade.
Notem a direção do vetor da componente vertical. No início, o projétil estava subindo, agora no fim ele está descendo, portando com sentido no eixo negativo.
Beleza?
Vamos pra próxima?