Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 33
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Fala ai pessoal! Se liga nessa questão, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais. Separei alguns passos para resolvermos!
Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
utilizamos a regra da cadeia e a diferenciação de funções compostas. E como fazer isso?
- Reescrevemos em termos de uma função auxiliar
- Derivamos a função em relação a .
- Calculamos a derivada de em relação a
- E por fim combinando esses resultados.
Bingo! obtemos a resposta!!!
Vamos começar! 😊
Passo 2
Vamos começar a reescrever a função em termos de uma variável auxiliar.
Para facilitar a diferenciação, introduzimos uma função auxiliar definida como:
Então, a função pode ser expressa como:
Para encontrar a derivada parcial de em relaçaõa a cada , usamos a regra da cadeia.
A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular a derivada de em relação a .
Como , a derivada de em relaçaõa a é:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de em relação a :
A função é a soma dos quadrados das variáveis
Portanto, a derivada parcial de em relação a é
Substituindo as derivadas encontradas na expressão da regra da cadeia
Passo 4
Reconhecendo que , podemos sibstituir pela sua expressão original. Assim, as derivadas parciais de em relação a são
É isso pessoal. Até a próxima!!!