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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 26

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 4 x 3 - t g   x   ,   - π 2 < x < π 2

Passo 1

Primeiramente, vejamos que o domínio da função está restrito ao intervalo de ( - π 2 , π 2 )

Então, vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 4 3 - sec 2 ⁡ x    

y ' ' = - 2 sec ⁡ x   t g   x  

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 4 3 - sec 2 ⁡ x   = 0

sec 2 ⁡ x   = 4 3 → sec ⁡ x = ± 4 3 → ± 2 3  

1 ( cos ⁡ x )     =   ± 2 3 → cos ⁡ x =   ± 3 2 → x = ± π 6

Esses são os valores para pontos críticos que estão no intervalo pedido.

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' - π 6 =   4 3 > 0 e y ' ' π 6 = - 4 3 < 0

Temos então um ponto de máximo em π 6 e um ponto de mínimo em - π 6 .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

  y ' = 4 3 - sec 2 ⁡ x  

Vamos testar os valores encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em - π 6 , π 6 e decrescente em - π 2 ,   - π 6 )   e   π 6 , π 2 . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' =   - 2 sec ⁡ x   t g   x   . Veja que sec ⁡ x é positiva em - π 2 , π 2 (nosso intervalo), então vamos verificar o sinal da tangente. Observe que como temos um número negativo multiplicando, para y ' ' ser positiva, a tangente tem que ser negativa.

E isso ocorre no intervalo - π 2 ,   0 → t g x < 0 .

Então, a concavidade do gráfico será para cima em - π 2 , 0 e para baixo em 0 , π 2

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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O gráfico mostra a posição s = f t de um corpo que se desloca para cima e para baixo sobre uma reta coordenada.Quando o corpo se afasta da origem? E quando ele se aproxima dela? Em que instantes, apro
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