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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 104

Esboce uma curva contínua y = f ( x ) com:

f - 2 = 8                                       f ' 2 = f ' - 2 = 0

f 0 = 4 f ' x < 0   para x < 2

f 2 = 0                                                                       f ' ' x < 0 para x < 0

f ' x > 0   para x > 2                   f ' ' x > 0 para x > 0

Passo 1

Sabemos que:

  • y ' ( x ) > 0 se a função é crescente em x.
  • y ' x < 0   se a função é decrescente em x.
  • y ' x = 0 se x é um ponto crítico no gráfico (máximo ou mínimo absolutos)
  • y ' ' x > 0 se a concavidade do gráfico é para cima em x.
  • y ' ' x < 0 se a concavidade do gráfico é para baixo em x.
  • y ' ' x = 0 se x é um ponto de inflexão (onde muda a concavidade)

A partir dessas informações, podemos esboçar a curva:

Passo 2

Primeiramente, marque os pontos dados: - 2 ,   8 , 0,4 e 2,0 .

Veja que o problema diz que f ' x > 0   para x > 2 , ou seja, a função é crescente em ( - ∞ ,   - 2 ) e ( 2 ,   ∞ ) e como f ' x < 0   para x < 2 , ela é decrescente em ( - 2,2 ) .

Se   f ' 2 = f ' - 2 = 0 , significa que temos pontos críticos nesses valores. Veja que a derivada segunda é negativa em x = - 2 e positiva em x = 2 , logo temos um ponto de máximo em ( - 2,8 ) e um ponto de mínimo em ( 2,0 ) .

Por fim, a concavidade do gráfico é para cima quando x > 0 e para baixo quando x < 0 .

Passo 3

Juntando essas informações, podemos esboçar o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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