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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 12

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x 6 - 2 x 2

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 6 - 2 x 2 + 2 x 6 - 2 x - 2 = 36 - 24 x + 4 x 2 - 24 x + 8 x 2 = 12 x 2 - 48 x + 36

y ' ' = 24 x - 48

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 12 x 2 - 4 x + 3 → x = 1   e   x = 3

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 1 = - 24 < 0 , e y ' ' 3 = 24 > 0   . Então, temos um ponto máximo em 1 ,   y 1 = ( 1 ,   16 ) e um ponto mínimo em ( 3,0 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   12 x 2 - 48 x + 36

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 1 e x = 3 . Vamos fazer uma análise de sinal então...

Então, a função é crescente em ( - ∞ , 1 ) e ( 3 , ∞ ) e decrescente em ( 1,3 ) . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 24 x - 48 , então:

24 x - 48 > 0 → 24 x > 48 → x > 2  

Então a concavidade é para cima quando x > 2 e para baixo quando x < 2 .

Passo 4

A função:

  • Corta o eixo x em: x 6 - 2 x 2 = 0 → x = 0

    • Temos o ponto ( 0,0 ) .

  • Corta o eixo y em: x → 0 = 0 6 - 2 0 2 = 0

Ponto (0,0).

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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