Obtenha gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular você deve usar os gráficos de f' e f'' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f(x) = 8x^5 + 45x^4 + 80x^3 + 90x^2 + 200x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos tirar conclusões e estimar propriedades importantes das funções com base em um gráfico previamente feito. As principais propriedades que queremos estimar são os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Para isso, iremos primeiramente derivar nossa função duas vezes e com base na análise do gráfico da primeira e da segunda derivada podemos concluir e estimar a respeito da função.

Passo 2

Bom galera, primeiramente iremos encontrar a primeira e a segunda derivada da nossa função para assim fazer o gráfico da função e das suas derivadas. Isso é importante pois ao analisar o gráfico da primeira derivada podemos tirar informações a respeito dos valores de máximo e mínimo local e também podemos estimar os intervalos de crescimento e decrescimento. Ao analisar o gráfico da segunda derivada podemos estimar o intervalo de concavidade e os pontos de inflexão. Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 20 ( 2 x 4 + 9 x 3 + 12 x 2 + 9 x + 10 )

Derivando f ' ( x ) , temos

f ' ' x = 20 ( 8 x 3 + 27 x 2 + 24 x + 9 )

Passo 3

Podemos então gerar os seguintes gráficos

f x

f ' x

f ' ' ( x )

Com base no gráfico de f ' ( x ) , podemos encontrar o intervalo de decrescimento e crescimento. Para isso, devemos ver onde o gráfico de f ' ( x ) é menor que zero. Assim, segundo o gráfico podemos observar que a função não decresce, e o intervalo de crescimento é - ∞ ,   ∞ . Podemos ver ao olhar pro gráfico que não possui pontos de máximo, mínimo e nem de inflexão.

Com base no gráfico de f ' ' ( x ) , podemos estimar os intervalos de concavidade. Para isso, devemos ver onde o gráfico de f ' ' ( x ) é maior que zero, que é onde a concavidade é para cima. Assim, a nossa função possui concavidade para cima em ≈ ( 52 ,   ∞ ) e concavidade para baixo em ≈ ( 140 ,   52 ) . Podemos ver também o ponto de inflexão, que é ≈ ( 140 ,   52 ) .

Resposta

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