Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x^3 - 3x + 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 3 x 2 - 3

y ' ' = 6 x

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 3 x 2 - 3 = 0 → 3 x 2 = 3 → x 2 = 1 → x = ± 1

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' - 1 = - 6 < 0 , e y ' ' 1 = 6 > 0   . Então, temos um ponto máximo em - 1 ,   y - 1 = ( - 1 , 5 ) e um ponto mínimo em ( 1 ,   1 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' =   3 x 2 - 3 > 0 → x 2 > 1 → x > 1   e   x < - 1

Então, a função é crescente antes de x =   - 1 e depois de x = 1 . E decrescente no intervalo ( - 1,1 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = 6 x , então nossa concavidade será para cima quando x > 0 e para baixo quando x < 0 .

Passo 4

Como nossa função não tem nenhuma restrição, nosso gráfico não tem assíntotas.

A função não tem uma raiz exata, então vamos traçar o gráfico com as informações que temos:

Corta o eixo y em: x → 0 = 0 3 - 3 0 + 3 = 3

Então temos o ponto (0,3).

Passo 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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