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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 14

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 1 - 9 x - 6 x 2 - x 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = - 9 - 12 x - 3 x 2 =   - 3 ( x 2 + 4 x + 3 )

y ' ' =   - 12 - 6 x

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = - 3 x 2 + 4 x + 3 = 0 → x 2 + 4 x + 3 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = - 1 e x = - 3 .

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' - 1 = - 6 < 0 , e y ' ' - 3 = 6 > 0   . Então, temos um ponto máximo em - 1 ,   y - 1 = ( - 1 ,   5 ) e um ponto mínimo em ( - 3 ,   1 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = - 3 ( x 2 + 4 x + 3 )

Sabemos que a função y’ resulta em zero quando x = - 1 e x = - 3 . Vamos fazer uma análise de sinal então...

Então, a função é crescente em ( - 3 , - 1 ) e decrescente em ( - ∞ , - 3 )   e   ( - 1 , ∞ ) . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - 12 - 6 x então:

- 12 - 6 x > 0 → - 6 x > 12 → x < - 2

Então a concavidade é para cima quando x < - 2 e para baixo quando x > - 2 .

Passo 4

A raiz não é exata, então veremos só onde a função corta o eixo y :

x → 0 = 1 - 9 x - 6 x 2 - x 3 → 1  

Ponto (0,1).

Passo 5

Juntando as informações e os pontos encontrados, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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