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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 52

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

52-

y = x ln ⁡ x 2

Passo 1

Fazendo a primeira derivada temos a regra do produto:

y ' = x ' l n x 2 + x ( l n x 2 ) ' = ( ln ⁡ x ) 2 + 2 x ln ⁡ x ) x

y ' = ( ln ⁡ x   ) 2 + 2 ln ⁡ x  

Agora fazendo a segunda derivada temos:

y ' ' = 2 ln ⁡ x x + 2 x

Passo 2

Note que não podemos ter valores negativos ou iguais a zero pois a função l n ⁡ ( x ) não aceita esses valores, tendo nossos limites verticais

Agora vendo os pontos críticos analisando y ' temos:

( ln ⁡ x ) 2 + 2 ln ⁡ x = 0

Nesse caso ln ⁡ x   pode ser 0, o que é:

x = 1

Como já vimos o caso em que l n ⁡ ( x ) é 0,podemos supor outro caso onde ele não é, então podemos cortar l n ⁡ ( x ) dessa equação :

ln ⁡ x = - 2

Logo:

x = e - 2 ≈ 0.135

Passo 3

Agora testando esses valores na derivada segunda temos:

Para x = 1

y ' ' 1 = 2 × ln ⁡ 1 1 + 2 1 = 2 → p o s i t i v o

Logo x = 1 é mínimo local concavidade para cima

Para x = e - 2 :

y ' ' e - 2 = 2 ( ln ⁡ e - 2 ) + 2 e - 2 = - 4 + 2 e - 2 → n e g a t i v o

Logo x = e - 2 é ponto de máximo local

Passo 4

Agora temos que testar os limites extremos que são 0 e mais infinito

Para x = 0

lim x → 0 + ⁡ x ( ln ⁡ x )   2

Ficaria:

0 × - ∞

O que é uma forma indeterminada, então que comportar a função para poder fazer L’Hopital.

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x )   2 1 x

Nessa forma fica ∞ ∞ , podemos fazer L’Hopital:

lim x → 0 + ⁡ 2 ln ⁡ x 1 x - 1 x 2

O que fica:

- 2 × lim x → 0 + ⁡ x l n x  

Devemos fazer L’Hopital de novo:

- 2 × lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x →   - 2 × lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2

O que fica:

- 2 × lim x → 0 + ⁡ - x = 0

Logo para x tendendo a zero pela direita( único sentido possível) a função tenderá a ter valor de 0.

Para x tendendo a + ∞

lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ x )   2 = ∞ × ∞ = + ∞

Passo 5

Organizando nossos intervalos dos pontos que achamos temos:

Valores de teste: 0.1 , 0.5, 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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