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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1i

Resolva.

(d v)/(d t) = v^2 - v

Passo 1

Primeiro vamos calcular as funções constantes, para isso precisamos achar as raízes de h (v) , onde:

(d v)/(d t) = g (t) h (v)

Temos então que:

h (v) = v^2 - v

Passo 2

Vamos então calcular as raízes igualando h (v) a 0 :

h (v) = v^2 - v = 0 -> v (v - 1) = 0 -> v = 0 o u v = 1

Temos então que as funções contantes são:

v = 0 ou v = 1

Passo 3

Agora vamos achar as soluções não constantes através da integral:

int (d v)/(h (v)) = int g (t) d t

Temos que:

(d v)/(d t) = g (t) h (v) -> (d v)/(h (v)) = g (t) d t -> (d v)/(v^2 - v) = d t

Que na integral fica:

int (d v)/(v^2 - v) = int d t -> ln |v - 1| - ln |v| = t + C -> (ln |v - 1|)/(ln |v|) = t + C -> (v - 1)/(v) = e^(t + C) -> v - 1 = v e^(t + C) -> v - v e^(t + C) = 1 -> v (1 - e^t e^C) = 1 -> v = (1)/(1 - e^t e^C)

Resposta

v = 0 ou v = 1 ou v = (1)/(1 - e^t e^C)

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