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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1e

Resolva a equação

b ) overset(¨)(x) + 9 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 9 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 9 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 9) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 9) = 0 -> lambda^2 + 9 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = 5 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (9)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 36))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

+- (sqrt(36 i^2))/(2) = +- (sqrt(( 6 i )^2))/(2) = +- (6)/(2) i = +- 3 i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = 3

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(0 t) [A cos 3 t + B sin 3 t] = A cos 3 t + B sin 3 t

Resposta

x (t) = A cos 3 t + B sin 3 t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Resolva as equações:i ) z^2 + 2 = 0
Resolva as equações:b ) lambda^2 + lambda + 1 = 0
Calcule a e b:g ) (5)/(2 - 3 i) = a + b i
Calcule a e b:h ) (2 + i)/(3 - i) = a + b i