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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 388

Resolva a equação:

a r c t g ((1 + e^x)/(2)) + a r c t g ((1 - e^x)/(2)) = (pi)/(4)

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Lembrando que:

t g (alpha + beta) = (t g alpha + t g beta)/(1 - t g alpha * t g beta)

Aplicamos tangente de ambos os lados da equação dada:

t g [a r c t g ((1 + e^x)/(2)) + a r c t g ((1 - e^x)/(2))] = t g ((pi)/(4))

Fazendo:

alpha = a r c t g ((1 + e^x)/(2)) e beta = a r c t g ((1 - e^x)/(2))

Teremos que:

alpha = a r c t g ((1 + e^x)/(2)) = > t g alpha = (1 + e^x)/(2)

E:

beta = a r c t g ((1 - e^x)/(2)) = > t g beta = (1 - e^x)/(2)

Passo 2

Substituindo na relação da tangente da soma, teremos:

t g (alpha + beta) = (t g alpha + t g beta)/(1 - t g alpha * t g beta) = ((1 + e^x)/(2) + (1 - e^x)/(2))/(1 - ((1 + e^x)/(2)) ((1 - e^x)/(2))) =

= ((2)/(2))/(1 - (1 - e^x + e^x - e^(2 x))/(2)) = (1)/((2 - 1 + e^(2 x))/(2)) = (1)/((1 + e^(2 x))/(2)) = (2)/(1 + e^(2 x))

Logo:

t g [a r c t g ((1 + e^x)/(2)) + a r c t g ((1 - e^x)/(2))] = t g ((pi)/(4))

Fica reescrita da seguinte forma:

(2)/(1 + e^(2 x)) = 1

Daí, temos que:

2 = 1 + e^(2 x) = > e^(2 x) = 1 = > e^(2 x) = e^0 = > 2 x = 0 = > x = 0

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

S = {0} .

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