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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 22-c

22. (a) Verifique se ambas as funções

  y 1 ( t )   =   1   –   t  

  y 2 ( t )   =   – t 2 / 4

são soluções do problema de valor inicial

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y 2 =   - 1

Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz aunicidade no Teorema 2.4.2.(c) Mostre que y   =   c t   +   c 2 , em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencialno item (a) para t ≥ –2c. Se c = –1, a condição inicial também é satisfeita, e obtemos a soluçãoy = y1(t). Mostre que não existe escolha de c que fornece a segunda solução y = y2(t)

Passo 1

  1. Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar

Vamos então agora derivar a função

y   =   c t   +   c 2

d y 1 d t =   c

Talvez você se pergunte, mas como c pode ser uma solução para aquele enunciado ? Simples acompanha comigo!!!

Passo 2

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = c

Então agora vamos igualar a duas e usar   y   =   c t   +   c 2 para substituir y

c =   - t + t 2 + 4 c t   +   c 2 2

Agora vamos aplicar os dados de contorno

y 2 =   - 1

Assim nossa equação fica

c =   1 + 1 + 4 - c + c 2 2

2 c - 1 =   1 + 4 - c + c 2

Vamos quadrar os dois lados

2 c - 1 2 = 1 - 4 c + 4 c 2

4 c 2 - 4 c + 1 =   1 - 4 c + 4 c 2  

Logo essa equação se mostra verdadeira. So temos que ter cuidado com o domínio da nossa função, afinal não podemos ter raiz com argumento negativo, assim :

t 2 + 4 c t   +   c 2 > 0

t 2 + 4 c t + 4 c 2 > 0

t + 2 c 2 > 0

t > - 2 c

Essa é a nossa limitação. 😉 E também mostra uma coisa legal , afinal se c =   - 1   temos

y   =   c t   +   c 2 →   y 1 ( t )   =   1   –   t  

Passo 3

Não podemos fazer a mesma coisa com o item y 2 porque se tivermos

y t =   – t 2 4 + C

Isso faz com que nossa equação fique no formato

y t =   – t 2   4 + C

d d t y t =   – t 2

Vamos igualar agora as equações

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = - t 2

- t 2 =   - t + t 2 + 4 - t 2 4 + C   2  

- t 2 = - t + 4 C 2

4 C = 0

Então não temos como adicionar uma constante arbitraria que satisfaça nossa função. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada: x y ' - 2 y = 0 ;y = - x 2 , s e x0x 2 ,s ex ≥ 0
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Por inspeção, determine, se possível, uma solução real para a equação diferencial dada. d y d x + y = 0 d y d x + y + 1 = 0 d y d x + y = 1
Nos problemas 49 e 50, encontre valores de m para que y = x m seja uma solução para cada equação diferencial. x 2 y ' ' - 6 x y ' + 4 y = 0
Nos problemas 47 e 48, encontre valores de m para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial. y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0