Resolva a equação

cotg x - sen 2x = 0

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação iremos substituir as funções trigonométricas pelas suas fórmulas. E naturalmente iremos achar a resposta.

Lembrando que

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a ∙ cos ⁡ b + sen ⁡ b ∙ cos ⁡ a cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

Simbora!

Passo 2

cotg ⁡ x - sen ⁡ 2 x =   0

cotg ⁡ x = sen ⁡ 2 x

Utilizando o seno da soma:

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a ∙ cos ⁡ b + sen ⁡ b ∙ cos ⁡ a

Temos:

1 tg ⁡ x   = 2 ∙ sen ⁡ x ∙ cos ⁡ x

cos ⁡ x sen ⁡ x   = 2 ∙ sen ⁡ x ∙ cos ⁡ x

cos ⁡ x   = 2 ∙ sen 2 ⁡ x ∙ cos ⁡ x

2 ∙ sen 2 ⁡ x = 1

sen 2 ⁡ x = 1 2

sen ⁡ x = 1 2

sen ⁡ x = ± 1 2

Racionalizando, isto é, tirando a raiz do denominador:

1 2 ∙ 2 2 = 2 2

Portanto,

sen ⁡ x =   ± 2 2

Passo 3

Beleza, agora precisamos achar os ângulos cujo seno corresponde a + 2 2 e - 2 2

Sorte nossa que esse valor de seno corresponde a um ângulo notável, o ângulo π 4 .

Assim,

x =   ± π 4 + k π

Esse fator k π precisa estar presente para contabilizarmos os múltiplos. Nesse caso, os ângulos simétricos a ± π 4 no eixo vertical possuem o mesmo valor de seno.

Resposta

x =   ± π 4 + k π

Exercícios de Livros Relacionados