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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 311

Resolva a equação

cotg x - sen 2 x = 0

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação iremos substituir as funções trigonométricas pelas suas fórmulas. E naturalmente iremos achar a resposta.

Lembrando que

{[[sen ( a + b ) = sen a * cos b + sen b * cos a],[cotg x = (1)/(tg x)]])

Simbora!

Passo 2

cotg x - sen 2 x = 0

cotg x = sen 2 x

Utilizando o seno da soma:

sen ( a + b ) = sen a * cos b + sen b * cos a

Temos:

(1)/(tg x) = 2 * sen x * cos x

(cos x)/(sen x) = 2 * sen x * cos x

cos x = 2 * sen^2 x * cos x

2 * sen^2 x = 1

sen^2 x = (1)/(2)

sen x = sqrt((1)/(2))

sen x = +- (1)/(sqrt(2))

Racionalizando, isto é, tirando a raiz do denominador:

(1)/(sqrt(2)) * (sqrt(2))/(sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2)

Portanto,

sen x = +- (sqrt(2))/(2)

Passo 3

Beleza, agora precisamos achar os ângulos cujo seno corresponde a + (sqrt(2))/(2) e - (sqrt(2))/(2)

Sorte nossa que esse valor de seno corresponde a um ângulo notável, o ângulo (pi)/(4) .

Assim,

x = +- (pi)/(4) + k pi

Esse fator k pi precisa estar presente para contabilizarmos os múltiplos. Nesse caso, os ângulos simétricos a +- (pi)/(4) no eixo vertical possuem o mesmo valor de seno.

Resposta

x = +- (pi)/(4) + k pi

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