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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 6

Resolva a equação diferencial:

(1 + x) y^' + y = sqrt(x)

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por ( 1 + x ) , pois o coeficiente de (d y)/(d x) deve ser 1. Beleza?

y^' + (1)/(1 + x) y = (sqrt(x))/(1 + x)

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = (1)/(1 + x) ; f (x) = (sqrt(x))/(1 + x)

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int (1)/(1 + x) d x) = e^(l n ( 1 + x )) = 1 + x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' . ( 1 + x ) + y = sqrt(x)

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d)/(d x) (( 1 + x ) . y) = sqrt(x)

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

( 1 + x ) . y = int sqrt(x) d x

( 1 + x ) . y = (2)/(3) x^(2 // 3) + c

y = (2)/(3) (x^(2 // 3))/(( 1 + x )) + (c)/(1 + x)

Resposta

y = (2)/(3) (x^(2 // 3))/(( 1 + x )) + (c)/(1 + x)

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