Um tanque com capacidade de está cheio com uma mistura de água e cloro com uma concentração de de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro, água doce é bombeada no tanque a uma taxa de . A mistura é agitada e é retirada a uma taxa de . Calcule a quantidade de cloro no tanque em função do tempo.

Nessa questão, temos um tanque com de água e cloro, onde a concentração de cloro é . Para fazer essa concentração diminuir, é adicionada água doce a uma taxa de e retirada a . Queremos encontrar a quantidade de cloro no tanque em função do tempo.

Se a água entra a e sai a , temos uma vazão total igual a .

Então a quantidade de solução em um instante pode ser encontrada pela expressão

, onde é o volume inicial no tanque.

A concentração de cloro será

Como o cloro está saindo a uma taxa de , temos:

Note que aí temos uma EDO separável, para resolver podemos integrá-la dos dois lados, assim:

Lembre sempre da constante em uma integral indefinida.

Como estamos falando de quantidades e tempo, esses valores sempre serão positivos, então podemos retirar os módulos, ficamos com:

Quando , nós temos de cloro inicialmente no tanque, então:

Assim, chegamos que nossa equação é:

Ajeitando...