Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 28
28. No circuito apresentado na figura 4, um gerador fornece uma voltagem de volts, a indultancia é de e a resistência é de e .
a) Encontre .
b) Calcule a corrente depois de .
c) Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico da função corrente.
Passo 1
- Vamos usar uma das leis de Kirchhoff que é a lei de Kirchhoff das tensões em uma malha fechada, o que resulta em
onde é a indutância, é a resistência, é a corrente e é a voltagem.
Nesse caso, temos , e .
Então a EDO é
Passo 2
Chamando para facilitar os cálculos, temos
Então a EDO é linear com e .
Passo 3
O fator integrante é dado por , ou seja, .
Passo 4
Sabendo que dado o fator integrante , a solução é dada por por .
Já sabemos que e
Então precisamos calcular .
Vamos usar o método da integração por partes que é . Fazendo e , temos que e .
E então temos
Agora precisamos calcular
Vamos aplicar novamente a integração por partes, mas agora em
Vamos fazer e , então e . E então temos
Agora vamos substituir na primeira equação que encontramos.
Passo 5
Substituindo, temos
Arrumando...
O macete aqui é entender que pode ser visto como uma incógnita em uma equação que queremos encontrar o valor. Por isso, vamos colocar essa integral em evidência e isola-la no lado esquerdo da equação...
Passo 6
Então
E A solução é dada por
Passo 7
Para finalizar, só precisamos encontrar a constante , e para isso vamos olhar a condição de contorno.
Sabemos que
Então
, e então
e a solução é dada por
Passo 8
b)
Passo 9
c)