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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1a

  1. Ache a solução geral.

a) (d x)/(d t) - 3 x = e^t

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = - 3 , f (t) = e^t

x = k e^(- (- 3) t) + e^(- (- 3) t) int e^((- 3) t) e^t d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(3 t) + e^(3 t) int e^(- 3 t) e^t d t

= k e^(3 t) + e^(3 t) int (1)/(e^(3 t)) e^t d t

= k e^(3 t) + e^(3 t) int ((e^t)/(e^(3 t))) d t

= k e^(3 t) + e^(3 t) int e^(t - 3 t) d t

= k e^(3 t) + e^(3 t) int e^(- 2 t) d t

= k e^(3 t) + e^(3 t) (- (e^(- 2 t))/(2))

= k e^(3 t) - (1)/(2) ( e^(3 t) * e^(- 2 t) )

= k e^(3 t) - (1)/(2) ((e^(3 t))/(e^(2 t)))

= k e^(3 t) - (1)/(2) e^(3 t - 2 t)

= k e^(3 t) - (e^t)/(2)

Resposta

x = k e^(3 t) - (e^t)/(2)

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