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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 10

Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral:

∫ d x x 2 + 2 x

Passo 1

Fala ai,

Bom, o eninciado pele para expressar o integrando como soma de frações parciais. Veja que podemos reescrever o denominador da seguinte forma:

1 x 2 + 2 x =   A x +   B x + 2

Agora, vamos considerar somente os numeradores de cada fração:

1 = A   x + 2 + B x

1 = A x + 2 A + B x

1 = A + B x + 2 A

Agora, devemos resolver o sistema, para encontrar os valores de Ae B:

A + B = 0 2 A = 1

A = 1 2

B =   - 1 2

Passo 2

Encontrados os valores de A e B, vamos reescrever a integral e resolver-la

∫ d x x 2 + 2 x = 1 2   ∫ d x x - 1 2   ∫ d x x + 2

= 1 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x + 2 + C

= 1 2   [   ln ⁡ x - ln ⁡ x + 2 ] + C

Resposta

= 1 2   [   ln ⁡ x - ln ⁡ x + 2 ] + C

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