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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 7

Resolva a equação diferencial:

2 y^' = e^(x // 2) + y

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

2 y^' - y = e^(x // 2)

Dividimos por dois, pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y^' - (1)/(2) y = (e^(x // 2))/(2)

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = - (1)/(2) ; f (x) = (e^(x // 2))/(2)

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int - (1)/(2) d x) = e^(- x // 2)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

e^(- x // 2) . y^' - (1)/(2) . e^(- x // 2) . y = (e^(x // 2))/(2) . e^(- x // 2)

e^(- x // 2) . y^' - (1)/(2) . e^(- x // 2) . y = (1)/(2)

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (e^(- x // 2) . y) = (1)/(2)

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e^(- x // 2) . y = int (1)/(2) d x

e^(- x // 2) . y = (1)/(2) x + C

y = (x e^(x // 2))/(2) + C . e^(x // 2)

Resposta

y = (x e^(x // 2))/(2) + C . e^(x // 2)

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