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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 15

Resolva a equação diferencial:

(d y)/(d x) + 2 y = 3

y (0) = 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos escrever (d y)/(d x) como y ' , beleza?

y^' + 2 y = 3

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = 2 ; f (x) = 3

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int 2 d x) = e^(2 x)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y = 3 . e^(2 x)

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (e^(2 x) . y) = 3 . e^(2 x)

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e^(2 x) . y = int 3 . e^(2 x) d x

e^(2 x) . y = (3)/(2) e^(2 x) + C

y = (3)/(2) + (C)/(e^(2 x))

Como queremos y (0) = 1 . Façamos:

1 = (3)/(2) + C

c = - (1)/(2)

y = (3)/(2) - (1)/(2) e^(- 2 x)

Resposta

y = (3)/(2) - (1)/(2) e^(- 2 x)

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