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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 2

Resolva a equação diferencial:

e^x (d y)/(d x) + 2 e^x y = 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por e^x , pois o coeficiente de (d y)/(d x) deve ser 1. E vamos ainda, escrever (d y)/(d x) como y ' , beleza?

y^' + 2 y = e^(- x)

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = 2 ; f (x) = e^(- x)

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int 2 d x) = e^(2 x)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y = e^(- x) . e^(2 x)

y^' e^(2 x) + 2 e^(2 x) y = e^x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) (e^(2 x) . y) = e^x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e^(2 x) . y = int e^x d x

e^(2 x) . y = e^x + C

y = (e^x + C)/(e^(2 x))

y = e^(- x) + c . e^(- 2 x)

Resposta

y = e^(- x) + c . e^(- 2 x)

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