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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 6

Resolva a equação diferencial:

y^' = x e^(x - y) c o s s e c y

Passo 1

Pela propriedade da exponencial, temos que:

y^' = (x e^x)/(e^y) c o s s e c y

Passando o que tem y para o lado esquerdo, temos:

(e^y)/(c o s s e c y) y ' = x e^x

Agora nós integramos ambos os lados...

int (e^y)/(c o s s e c y) d y = int x e^x d x

Passo 2

Veja que

int (e^y)/(c o s s e c y) y = int e^y s e n y d y

Fazendo integração por partes, encontramos:

e^y s e n y - int e^y cos y d y

E aí entramos num ciclo, e voltamos a:

e^y s e n y - (e^y cos y + int e^y s e n y d y)

Como estamos com a mesma integral inicial, faremos:

int e^y s e n y d y = e^y s e n y - (e^y cos y + int e^y s e n y d y)

E aí, passamos a integral repetida para o lado esquerdo...

2 int e^y s e n y d y = e^y s e n y - e^y cos y

Ou seja:

int e^y s e n y d y = (e^y ( s e n y - cos y ))/(2)

A integral

int x e^x d x

Fica...

x e^x - int e^x d x

Que nos resulta em:

x e^x - e^x = e^x ( x - 1 )

Então, a equação diferencial resulta em:

(e^y ( s e n y - cos y ))/(2) = e^x (x - 1) + C

Resposta

(e^y ( s e n y - cos y ))/(2) = e^x (x - 1) + C

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