Resolva a equação diferencial:

y' = x \* e^(x-y) \* cossec y

Passo 1

Pela propriedade da exponencial, temos que:

y ' = x e x e y c o s s e c   y

Passando o que tem y para o lado esquerdo, temos:

e y c o s s e c   y y ' = x e x

Agora nós integramos ambos os lados...

∫ e y c o s s e c   y d y = ∫ x e x   d x

Passo 2

Veja que

∫ e y c o s s e c   y y = ∫ e y s e n   y   d y

Fazendo integração por partes, encontramos:

e y s e n   y - ∫ e y cos ⁡ y d y

E aí entramos num ciclo, e voltamos a:

e y s e n   y - e y cos ⁡ y + ∫ e y s e n   y   d y

Como estamos com a mesma integral inicial, faremos:

∫ e y s e n   y   d y = e y s e n   y - e y cos ⁡ y + ∫ e y s e n   y   d y

E aí, passamos a integral repetida para o lado esquerdo...

2 ∫ e y s e n   y   d y = e y s e n   y - e y cos ⁡ y

Ou seja:

∫ e y s e n   y   d y = e y ( s e n   y - cos ⁡ y ) 2

A integral

∫ x e x   d x  

Fica...

x e x - ∫ e x d x

Que nos resulta em:

x e x - e x = e x ( x - 1 )

Então, a equação diferencial resulta em:

e y ( s e n   y - cos ⁡ y ) 2 = e x x - 1 + C

Resposta

e y ( s e n   y - cos ⁡ y ) 2 = e x x - 1 + C

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