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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 5

Resolva a equação diferencial.

y^' = (e^y)/(x y)

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y^' = (d y)/(d x) podemos reescrever nossa equação como sendo

(d y)/(d x) = (e^y)/(x y)

(y d y)/(e^y) = (d x)/(x)

Agora, integrando ambos os lados poderemos resolver nossa equação diferencial.

Passo 2

Aplicando o operador integral em ambos os lados vamos obter

int (y d y)/(e^y) = int (d x)/(x)

Podemos resolver cada uma das integrais separadamente e depois juntar os resultados para encontrarmos a resposta

(i) : int (d x)/(x) = ln |x| + C 2

(i i) : int (y d y)/(e^y) = int y e^(- y) d y

Para resolver essa integral precisamos utilizar a integração por partes, assim, temos

int u d v = u v - int v d u

Fazendo

u = y -> u^' = 1

d v = e^(- y) -> v = - e^(- y)

int y e^(- y) d y = - y e^(- y) - int - e^(- y) d y =

-> - y e^(- y) - e^(- y) + C 1

Juntando ambos os resultados e lembrando que C = C 2 - C 1 vamos obter

- y e^(- y) - e^(- y) + C 1 = ln |x| + C 2

- y e^(- y) - e^(- y) = ln |x| + C

e^(- y) * (y + 1) = - ln |x| + C

Resposta

e^(- y) * (y + 1) = - ln |x| + C

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