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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 2

Resolva a equação diferencial.

y^' = x y e^(x^2)

Passo 1

Analisando o lado direito da nossa equação diferencial percebemos que há apenas multiplicações e que as variáveis x e y não se misturam, logo, podemos separar um lado com tudo que tem y e no outro tudo que contém x , lembrando que y^' = (d y)/(d x) podemos reescrever nossa equação como sendo

(d y)/(d x) = x y e^(x^2)

d y = x y e^(x^2) d x

(d y)/(y) = x e^(x^2) d x

Agora, integrando ambos os lados poderemos encontrar f (x) = y que é nosso objetivo.

Passo 2

Aplicando o operador integral em ambos os lados vamos obter

int (d y)/(y) = int x e^(x^2) d x

Então, nosso problema se resume em resolver cada uma das integrais e depois isolar a variável y

(i) : int (d y)/(y) = ln |y| + C 1

(i i) : int x e^(x^2) d x

Fazendo x^2 = u -> (d u)/(d x) = 2 x -> (d u)/(2) = x d x , teremos

int x e^(x^2) d x = (1)/(2) * int e^u d u = ((1)/(2)) * e^u + C 2

Retornando a variável x

-> ((1)/(2)) * e^u + C 2 = ((1)/(2)) * e^(x^2) + C 2

Juntando ambos os resultados vamos chegar em

ln |y| + C 1 = ((1)/(2)) * e^(x^2) + C 2

ln | y | = ((1)/(2)) * e^(x^2) + C

Sendo C = C 2 - C 1 = c o n s t a n t e q u a l q u e r . Aplicando a função exponencial em ambos os lados vamos ter

e^(ln y) = e^(((1)/(2)) * e^(x^2) + C)

y = e^([ ((1)/(2)) * e^(x^2) + C ])

Resposta

y = e^([ ((1)/(2)) * e^(x^2) + C ])

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Qual das equações a seguir está correta? Justifique sua resposta. x ∫ 1 x d x = x l n x + c x ∫ 1 x d x = x l n x + x c