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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 22

Determine o campo vetorial gradiente de f .

f x ,   y = x α e - β x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo certo?

A questão pede pra gente o campo vetorial gradiente de

f x ,   y = x α e - β x

O campo vetorial de uma função é dado por ∇ f , cuja equação é:

∇ f = ∂ f ∂ x   i + ∂ f ∂ y   j

Note que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são as derivadas parciais da nossa função f x ,   y em relação a cada variável. Também podemos escrever essas derivadas parciais como f x e f y .

Bem, então o que precisamos fazer aqui é, calcularmos as derivadas parciais da nossa equação e substituí-las na equação do nosso campo vetorial. Bem simples, né?

Vamos em frente!

Passo 2

f x ,   y = x α e - β x

Para f x , temos que derivar x α e - β x em função de x , ou seja, tratando y como constante. Como temos um produto de funções, usamos a regra do produto para achar a derivada.

Relembrando: derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda e somamos com a derivada da segunda função multiplicada pela primeira.

d d x u x ⋅ v x = u ' x ⋅ v x + u x ⋅ v ' x

Assim, ficamos com:

∂ f ∂ x = α x α - 1 e - β x + x α - β e - β x

Assim,

∂ f ∂ x = α - β x x α - 1 e - β x

E para f y , temos que derivar x α e - β x em função de y , ou seja, tratando x como constante. Mas veja como não temos nenhum termo dependente de y na nossa função. Como estamos derivando em y e tratando x como constante, a derivada da constante é zero. Assim, ficamos com:

∂ f ∂ y = 0

Passo 3

Pra finalizar, vamos juntar o que achamos no Passo 2 com o Passo 1, olha só:

∇ f = α - β x x α - 1 e - β x     i + 0   j

Resposta

∇ f = α - β x x α - 1 e - β x     i

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