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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 6

Resolva a equação diferencial.

y ' = x + 5 y

Passo 1

Olá, meu querido e amado amigo. Tudo bem com você?

Espero que esteja tudo bem com você, pois iremos resolver uma atividade de EDO hoje, e você vai sair daqui sabendo tudooo.

Veja bem, temos a EDO:

y ' - 5 y = x

E queremos encontrar sua solução.

Essa EDO é do tipo:

y ' + p t y = g t

E nesses casos podemos utilizar o fator integrante, que é dado por:

u t = e ∫ p t d t

Com ele em mãos, poderemos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante e assim poderemos resolver nossa EDO de forma direta, integrando de ambos os lados.

Pode parecer confuso, mas é bem simples até, e durante a resolução você vai perceber isso.

Passo 2

Colocando a nossa EDO na forma padrão, teremos:

y ' - 5 y = x

Onde:

P x = - 5

Q x = x

Encontrando o fator integrante, teremos:

μ u = e ∫ P x d x

μ x = e ∫ - 5 d x = e - 5 x

Multiplicando amos os lados da EDO pelo fator integrante:

y ' - 5 y = x

e - 5 x y ' - - 5 e - 5 x y = x e - 5 x

O lado esquerdo é a derivada do produto e - x y . Assim:

d d x e - 5 x y = x e - 5 x

Passo 3

Agora integrando ambos os lados:

e - 5 x y = ∫ x e - 5 x d x

A integral do lado direito pode ser resolvida por integração por partes.

Seja:

u = x

d v = e - 5 x d x

Calculamos:

d u = d x

v = ∫ e - 5 x d x = - 1 4 = 5   e - 5 x

Aplicamos a fórmula de integração por partes:

∫ x e - 5 x d x = u v - ∫ v d u

Substituindo:

∫ x e - 5 x d x = x - 1 5 e - 5 x - ∫ - 1 5 e - 5 x d x

Simplificando:

∫ x e - 5 x d x = - x 5 e - 5 x + 1 25 e - 5 x

Passo 4

Substituímos o resultado da integral:

e - 5 x y = - x 5 e - 5 x + 1 25 e - 5 x + C

Onde C é a constante de integração.

Isolando o y :

y = - x 5 + 1 25 + C e 5 x

Resposta

y = - x 5 + 1 25 + C e 5 x

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