Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Olá, meu querido e amado amigo. Tudo bem com você?
Espero que esteja tudo bem com você, pois iremos resolver uma atividade de EDO hoje, e você vai sair daqui sabendo tudooo.
Veja bem, temos a EDO:
E queremos encontrar sua solução.
Essa EDO é do tipo:
E nesses casos podemos utilizar o fator integrante, que é dado por:
Com ele em mãos, poderemos multiplicar a nossa EDO pelo fator integrante e assim poderemos resolver nossa EDO de forma direta, integrando de ambos os lados.
Pode parecer confuso, mas é bem simples até, e durante a resolução você vai perceber isso.
Passo 2
Colocando a nossa EDO na forma padrão, teremos:
Onde:
Encontrando o fator integrante, teremos:
Multiplicando amos os lados da EDO pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada do produto . Assim:
Passo 3
Agora integrando ambos os lados:
A integral do lado direito pode ser resolvida por integração por partes.
Seja:
Calculamos:
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Substituímos o resultado da integral:
Onde é a constante de integração.
Isolando o :