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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 6

Resolva a equação diferencial.

y^' = x + 5 y

Passo 1

E aê, pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos por na forma linear padrão:

(d y)/(d x) + P (x) y = Q (x)

É só fazer alguns ajustes, beleza?

y^' = x + 5 y

y^' - 5 y = x

Então:

P (x) = - 5 , Q (x) = x

Agora já podemos resolver usando fator integrante, ok?

Passo 2

Show! O fator integrante é dado pela fórmula:

I (x) = e^(int P (x) d x) = e^(int - 5 d x) = e^(- 5 x)

Multiplicamos nossa equação pelo fator integrante:

y^' e^(- 5 x) - 5 y e^(- 5 x) = x e^(- 5 x)

Repare que o lado esquerdo da equação equivale à derivada de um produto:

y^' e^(- 5 x) - 5 y e^(- 5 x) = (y e^(- 5 x))^'

Então nossa equação fica:

(y e^(- 5 x))^' = x e^(- 5 x)

Passo 3

Beleza! Agora é só integrar:

y e^(- 5 x) = int x e^(- 5 x) d x + C

A gente faz integração por partes no lado direito:

y e^(- 5 x) = x (- (e^(- 5 x))/(5)) - int 1 . (- (e^(- 5 x))/(5)) d x + C

y e^(- 5 x) = - (x e^(- 5 x))/(5) - e^(- 5 x) + C

y = - (x)/(5) - 1 + C e^(5 x)

Tudo certo?

Resposta

y = - (x)/(5) - 1 + C e^(5 x)

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