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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 22

Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x   usando a mudança de variáveis v = y x .

Passo 1

Galera, a gente precisa resolver essa equação diferencial. Facilitaria bastante a nossa vida se ela fosse separável, né? Mas não é, dá uma olhada:

x d y d x = y + x e y x

d y d x = y x + e y x

Mas calma, calma, calma, que nem tudo tá perdido! O enunciado deu uma dica pra gente, bora tentar a seguinte mudança de variáveis:

v = y x     o u     v x = y

Derivando ambos os lados em relação a x , usando a propriedade da derivada do produto, podemos pegar mais informações. Quem sabe mais tarde isso não vai ser útil?

d v d x x + v = d y d x

Passo 2

Com as equações que a gente conseguiu através da mudança de variáveis, vamos tentar substituir alguns valores na equação principal que temos que resolver?

d y d x = y x + e y x

d v d x x + v = v + e v

d v d x = e v x

Maravilha! Chegamos em uma equação separável!

Passo 3

Agora, pessoal, a gente separa direitinho cada lado da equação com uma variável e integra, beleza?

1 e v d v = 1 x d x

∫ 1 e v d v = ∫ 1 x d x + C

∫ e - v d v = ln ⁡ x + C

- e - v = ln ⁡ x + C

Assim, a gente substitui de volta o valor de v e isola o y bonitinho, aplicando logaritmo nos dois lados da equação:

- e - y x = ln ⁡ x + C

ln ⁡ e - y x = l n ⁡ [ - ( ln ⁡ x + C ) ]  

- y x = ln ⁡ K - l n | x |

y = - x   ln ⁡ K - l n | x |

Resposta

y = - x   ln ⁡ K - l n | x |

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