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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 24

Resolva a equação e - y y ' + c o s x = 0 e trace vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando a constante C varia?

Passo 1

Primeiramente, a gente verifica que a equação a ser resolvida é separável. Bora lá?

e - y d y d x + c o s x = 0

d y d x =   - e y c o s x  

Agora a gente já pode integrar os dois lados:

∫ - e - y d y = ∫ c o s x   d x + C

e - y = s e n x + C  

y = - l n ⁡ ( s e n x + C )

Passo 2

Agora que já temos a nossa solução genérica, vamos traçar alguns gráficos dessa família de soluções, ou seja, vamos pegar alguns valores de C e jogar na solução.

Mas para isso, atenção! Não podemos pegar qualquer valor de C , pois a função ln ⁡ s e n x + C

precisa estar definida!

De acordo com o que sabemos do domínio da função logaritmo, temos:

s e n x + C > 0

C > - s e n x   ,       p a r a   c a d a   x

Logo, vamos escolher valores de C maiores do que 1   .

C = 1,1 :

C = 5 :

C = 10 :

C = 100 :

Passo 3

Agora, presta bastante atenção nos gráficos, o que você observa à medida que o valor de C aumenta?

Parece que a amplitude dos gráficos, ou seja, a variação máxima entre as alturas de um mesmo gráfico, vai diminuindo.

Além disso, a curva solução também vai sendo deslocada para baixo.

Resposta

y = - l n ⁡ ( s e n x + C )

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