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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 13

Resolva a equação diferencial.

13-

(d^2 y)/(d t^2) + (d y)/(d t) + y = 0

Passo 1

A equação auxiliar para resolver essa EDO é:

r^2 + r + 1 = 0

E por Bháskara temos que as raízes serão iguais a:

(r_1 ; r_2) = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(3) i)/(2)

Raízes complexas com alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(3))/(2)

Passo 2

A solução para raízes complexas é:

y = e^(alpha t) (c_1 s e n beta t + c_2 cos beta t)

Substituindo os resultados temos:

y = e^(- (t)/(2)) (c_1 s e n ((sqrt(3))/(2) t) + c_2 cos ((sqrt(3))/(2) t))

Não vai me colocar a solução em função de x aqui, o enunciado nos diz que y está em função de t .

Acabamos o básico de EDO de segundo grau vamos continuar fazendo mais exercícios!

Resposta

y = e^(- (t)/(2)) (c_1 s e n ((sqrt(3))/(2) t) + c_2 cos ((sqrt(3))/(2) t))

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