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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 56

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

T = e - 2 r cos ⁡ θ

Passo 1

Vamos lá, a gente tem que encontrar

T r r ,   T r θ ,   T θ θ ,   T θ r

Pra isso, primeiro a gente faz as derivadas de primeira ordem. Vamos lá...

T r = e - 2 r - 2 cos ⁡ θ

T r =   - 2 e - 2 r cos ⁡ θ

T θ = - e - 2 r s e n   θ

Show! Agora a gente deriva isso de novo em relação a cada uma variável.

Passo 2

Derivando T r em relação a r de novo:

T r r = 4   e - 2 r cos ⁡ θ

E agora em relação a θ ...

T r θ   = 2 e - 2 r s e n   θ

Passo 3

Agora vamos derivar T θ em relação a r :

T θ r = 2 e - 2 r s e n   θ

E agora em relação a θ :

T θ θ =   - e - 2 r cos ⁡ θ

Prontinho! Calculamos todas as derivadas de segunda ordem😊

Resposta

T r r = 4   e - 2 r cos ⁡ θ

T r θ   = 2 e - 2 r s e n   θ

T θ r = 2 e - 2 r s e n   θ

T θ θ =   - e - 2 r cos ⁡ θ

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