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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 47

Resolva a equação (6) sujeita a i 0 = 0 , em que E ( t ) é a voltagem dada na figura 7.48. Especifique a solução para 0 ≤ t < 2 . [Sugestão: Veja o problema 33, Exercício 7.4.]

Passo 1

Salveeee meu querido

Bora lá, temos que resolver essa equação:

L d i d t + R i = E ( t )

Com i 0 = 0 e para o E ( t ) mostrado na figura 7.48 do seu livro

Bom galerinha, primeiramente, a figura 7.48 mostra a função que vimos lá no problema 33 da seção 4 desse capítulo

E lá, encontramos que a transformada dessa função é dada por

E s = 1 s 2 + 1 s . 1 1 - e s

Então vamos usar isso nesse problema belezinha?

Bora lá!!

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

L d i d t + R i = E ( t )

L s . I s - 0 + R I s = 1 s 2 + 1 s . 1 1 - e s

I s . L s + R = 1 s 2 + 1 s . 1 1 - e s

Isolando I ( s ) :

I s = 1 s 2 L s + R + 1 s L s + R . 1 1 - e s

Podemos escrever isso assim:

I s = 1 L 1 s 2 s + R L + 1 L 1 s s + R L . 1 1 - e s

Expandindo em frações parciais e série de potências:

I s = 1 L L R s ² - L 2 R 2 s + L 2 R 2 s + R L + 1 L L R s - L R s + R L . 1 1 - e s

I s = 1 R 1 s ² - L R s + L R s + R L + 1 R 1 s - 1 s + R L . ( 1 + e s + e 2 s + e 3 s + … )

Agora é só fazer a transformada inversa disso hehehe

Passo 3

Temos

I s = 1 R 1 s ² - L R s + L R s + R L + 1 R 1 s - 1 s + R L . ( 1 + e s + e 2 s + e 3 s + … )

Fazendo a transformada inversa:

i ( t ) = 1 R t - L R + L R e - R t L + 1 R ∑ n = 1 ∞ ( 1 - e - R t - n L u ( t - n )

E fimmmm

Resposta

i ( t ) = 1 R t - L R + L R e - R t L + 1 R ∑ n = 1 ∞ ( 1 - e - R t - n L u ( t - n )

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