Resolva as equações diferenciais

dy/dx = x \* e^y

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

y ' = x e y

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

d y d x = x e y

d y e y = x d x

e - y d y   = x d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ e - y d y   = ∫ x d x

A função e y é cíclica. Como ela é a derivada de si mesma, pode ser mais fácil pensar assim : “Como funciona a derivada dela?” E depois só ajustar as constantes. Por exemplo

d d x   e - x =   - e - x

Então para eu ter a primitiva de e - x eu so preciso multiplicar por -1

e - x - 1 →   - e - x

Beleza? Vamos continuar.

- e - y = x 2 2 + C

e - y = x 2 2 + C #

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por -1 , não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Eu botei como C#, mas podemos continuar a tratar como apenas C. Beleza!

e - y = x 2 2 + C

Pra terminarmos vamos só ajustar um pouco essa equação. Podemos aplicar a função logaritmo em ambos os lados

ln ⁡ e - y = ln ⁡ x 2 2 + C

- y =   ln ⁡ x 2 2 + C

y =   - ln ⁡ x 2 2 + C

y =   ln ⁡ x 2 2 + C - 1

y = ln ⁡ 2 x 2 + C

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y 0 = 0

e - y = x 2 2 + C

e 0 = 0 2 + C

C = 1

Logo podemos escrever que

e - y = x 2 2 + 1

Ou

y = ln ⁡ 2 x 2 + 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = ln ⁡ 2 x 2 + 1

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