Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 11

Resolva as equações diferenciais

(d y)/(d x) = x e^y

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

y^' = x e^y

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

(d y)/(d x) = x e^y

(d y)/(e^y) = x d x

e^(- y) d y = x d x

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int e^(- y) d y = int x d x

A função e^y é cíclica. Como ela é a derivada de si mesma, pode ser mais fácil pensar assim : “Como funciona a derivada dela?” E depois só ajustar as constantes. Por exemplo

(d)/(d x) e^(- x) = - e^(- x)

Então para eu ter a primitiva de e^(- x) eu so preciso multiplicar por -1

(e^(- x))/(- 1) -> - e^(- x)

Beleza? Vamos continuar.

- e^(- y) = (x^2)/(2) + C

e^(- y) = (x^2)/(2) + C #

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por -1 , não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Eu botei como C#, mas podemos continuar a tratar como apenas C. Beleza!

e^(- y) = (x^2)/(2) + C

Pra terminarmos vamos só ajustar um pouco essa equação. Podemos aplicar a função logaritmo em ambos os lados

ln (e^(- y)) = ln ((x^2)/(2) + C)

- y = ln ((x^2)/(2) + C)

y = - ln ((x^2)/(2) + C)

y = ln ((x^2)/(2) + C)^(- 1)

y = ln ((2)/(x^2 + C))

Passo 3

Vamos descobrir agora descobrir o valor de C, já que temos dados de contorno

y (0) = 0

e^(- y) = (x^2)/(2) + C

e^0 = (0)/(2) + C

C = 1

Logo podemos escrever que

e^(- y) = (x^2)/(2) + 1

Ou

y = ln ((2)/(x^2 + 1))

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = ln ((2)/(x^2 + 1))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Resolva a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2. (b) Resolva o problema de valor inicial y ' = 2 x 1 - y 2 , y 0 = 0 e faça um gráfico da solução.(c) O problema de valor inicial y ' = 2 x 1 - y 2
Resolva a equação e - y y ' + c o s x = 0 e trace vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando a constante C varia?
Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante r . À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâancias e removida da corr
Em uma reação química elementar, as moléculas únicas de dois reagentes A e B formam a molécula do produto C: A + B → C . A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto
No Exercício 28 , na Seção 9.2 , discutimos uma equação diferencial que modela a temperatura de uma xícara de café a 95° C em uma sala a 20° C . Resolva a equação diferencial para encontrar uma expres