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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 38

No Exercício 28 , na Seção 9.2 , discutimos uma equação diferencial que modela a temperatura de uma xícara de café a 95   ° C em uma sala a 20   ° C . Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para a temperatura do café no instante t .

Passo 1

Olá, pessoal. O nosso enunciado nos pede pra resolver a equação diferencial que foi discutida no Exercício 28 da Seção 9.2 . Se você ainda não tiver resolvido o 28 , ALERTA SPOILER!

A equação diferencial que temos que resolver é:

d T d t = - 0,02 ( T - 20 )

Para maiores detalhes de como chegamos nessa equação, é só conferir a resolução do Exercício 28 , Seção 9.2 , aqui no Responde Aí mesmo!

Passo 2

Repara bem nossa equação, parece que ela é do tipo separável, bora conferir?

d T d t = - 0,02 ( T - 20 )

1 - 0,02 T - 20   d T = 1   d t

Então agora é só integrar de cada lado, não esquecendo da constante!

∫ 1 - 0,02 T - 20   d T = ∫ 1   d t + C

∫ ( - 50 )   1 T - 20   d T = t + C

- 50  ln ⁡ T - 20 = t + C

ln ⁡ T - 20 = - t 50 + C

T - 20 = e - t 50 + C

T - 20 = C e - t 50

T - 20 = ± C e - t 50

T - 20 = C e - t 50

Passo 3

Show! Agora só falta descobrir a constante, né? Aí a gente volta no enunciado, e vemos que temos um valor inicial: a temperatura T da xícara de café é 95   ° C no instante inicial ( t = 0 ). Bora jogar essa informação na nossa solução?

T - 20 = C e - t 50

95 - 20 = C e - 0 50

75 = C .   1

C = 75

Prontíssimo! Ficamos com:

T - 20 = 75   e - t 50

T t = 75   e - t 50 + 20

Resposta

T t = 75   e - t 50 + 20

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Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.16. x y ' + y = y 2 y 1 = - 1
Resolva a equação diferencial.7. (d y)/(d t) = (t e^t)/(y sqrt(1 + y^2))
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.18. d L d t = K L 2 ln ⁡ t L 1 = - 1
Resolva a equação diferencial.8. (d y)/(d theta) = (e^y s e n^2 theta)/(y s e c theta)
3. Determine as funções constantes, caso existam, que sejam soluções da equação dada. f ) d x d t = x t ,t0