Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 40
Em uma reação química elementar, as moléculas únicas de dois reagentes e formam a molécula do produto . A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de e :
Então, se as concentrações iniciais forem e e escrevermos , então teremos
(a) Assumindo que , encontre como uma função de . Use o fato de que a concentração inicial de é .
(b) Encontre assumindo que . Como essa expressão para é simplificada se soubermos que depois de segundos?
Passo 1
Bom, pessoal, o contexto da nossa questão é de reações químicas, mas você não precisa ter nenhum conhecimento específico sobre isso pra resolver a questão. Quer ver?
(a) Aqui a gente precisa encontrar como função de , mas como fazer isso? Bom, ele nos deu uma equação diferencial envolvendo justamente e , então se a gente conseguir resolver ela, teremos a nossa resposta!
Passo 2
Show! Vamos resolver a equação diferencial. E note que ela é separável, então facilita bastante as coisas:
Agora, como resolver a integral da esquerda? Confira no próximo passo!
Passo 3
Que tal tentar o método das frações parciais?
Aqui a gente usa uma informação importante que o item (a) nos deu: Isso significa que os fatores e são diferentes, então nossa decomposição vai ficar assim:
sendo e constantes que vamos descobrir agora:
Daí, tiramos o seguinte sistema de equações:
Lembrando que queremos achar e (não ou , pois e já são constantes dadas pelo enunciado) chegamos a:
Passo 4
Show! Agora a gente volta às nossas integrais:
Usando agora algumas propriedades de logaritmo:
Passo 5
Beleza! Agora a gente usa o fato de que a concentração inicial pra achar nossa constante :
Show! A gente substitui o valor de na equação e dá uma ajeitada pra isolar nosso :
NÃO DORME! EU JURO QUE TÁ ACABANDO O ITEM (A)!
Passo 6
(b) A diferença aqui vai ser que consideraremos . Aí muitos de nós somos levados a pensar que é só substituir na solução final do item anterior e pronto! Mas não! Isso nos faria chegar a um valor absurdo, com denominador nulo, o que não é permitido aqui pois estamos trabalhando com frações, não com limites de frações.
Mas que coisa né? Então onde tá o erro desse raciocínio?
Bom, lá no , a gente usou a decomposição por frações parciais, que é diferente nos casos:
Para nossa alegria, uma substituição já resolve o nosso novo caso, faremos:
Mãos à obra!
Usando o fato de que , temos:
Então a gente substitui e isola o :
Passo 7
Ficou bem feinha a nossa expressão de , mas o enunciado nos disse que quando e isso pode nos ajudar a simplificar:
Jogando isso na nossa expressão:
Tá melhozim agora né?
Resposta
(a)
(b)