Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 43
Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante . À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâancias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante. Então, um modelo para a concentração da solução de glicose na corrente sanguínea é
onde é uma constante positiva.
(a) Suponha que a concentração no instante é Determine a concentração em um instante qualquer , resolvendo a equação diferencial.
(b) Assumindo que calcule e interprete sua resposta.
Passo 1
(a) Ei, pessoal! Aqui a gente precisa determinar a concentração em um instante qualquer, e pra isso, temos que resolver a equação diferencial:
Repara que ela é separável, pois e são apenas constantes
Então integra cada lado, beleza?
Usando a substituição resolvemos a primeira integral:
Mas temos que :
Então chegamos a isso, galera:
Passo 2
(b) Aqui a gente só precisa calcular esse limite:
Sabe o significado desse limite? Quando temos quanto mais o tempo passa, mais a concentração de glicose se aproxima do valor tá beleza?
Resposta
(a)
(b)