Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante r . À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâancias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante. Então, um modelo para a concentração C = C t da solução de glicose na corrente sanguínea é d C d t = r - k C onde k é uma constante positiva.(a) Suponha que a concentração no instante t = 0 é C 0 . Determine a concentração em um instante qualquer t , resolvendo a equação diferencial.(b) Assumindo que C 0r k, calcule lim t → ∞ ⁡ C t e interprete sua resposta.

(a) C t = r k + C 0 - r k e - k t (b) r k

Enunciado

(a) Ei, pessoal! Aqui a gente precisa determinar a concentração em um instante qualquer, e pra isso, temos que resolver a equação diferencial:

Repara que ela é separável, pois e são apenas constantes

Então integra cada lado, beleza?

Usando a substituição resolvemos a primeira integral:

Mas temos que :

Então chegamos a isso, galera:

(b) Aqui a gente só precisa calcular esse limite:

Sabe o significado desse limite? Quando temos quanto mais o tempo passa, mais a concentração de glicose se aproxima do valor tá beleza?

(a)

(b)