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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 18

Resolva as equações diferenciais nos Exercícios 9-22.

18-

d y d x = e 2 x - y e x + y

Passo 1

Aplicando as propriedades de exponenciais que vimos nas questões anteriores teremos:

d y d x = e 2 x × e - y e x × e y

Malandramente juntando as partes de x com as de x e as de y com y teremos:

d y d x = e 2 x - x × e - y - y

d y d x = e x × e - 2 y

Agora agrupando os valores que contém a mesma variável de tal modo que as parcelas diferenciais d x e d y estejam no numerador nós teremos:

d y e - 2 y = e x d x

e 2 y d y = e x d x

Passo 2

Integrando os dois lados teremos:

∫ e 2 y d y = ∫ e x d x

Na integral da esquerda nós teremos a seguinte substituição:

2 y = u

Logo teremos:

2 d y = d u

d u 2 = d y

O que nos daria:

1 2 ∫ e u d u = e x + c

e u 2 = e x + c

Como u = 2 y , vamos voltar ao nosso domínio original.

e 2 y = 2 e x + c

Passo 3

Isolando y nós teremos:

2 y = l n ⁡ ( 2 e x + c )

y = 1 2 l n ⁡ ( 2 e x + c )

Resposta

y = 1 2 l n ⁡ ( 2 e x + c )

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