1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.

Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada. Uma equação da curva na figura é y^2 = x^3

8. OBC em torno do eixo x.

Passo 1

Como essa figura está girando em torno da reta x, nossa casca cilíndrica imaginária estaria na horizontal e a espessura da casca cilíndrica é dy, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d y

Então como o d V depende de d y precisamos achar r e h em termos de y.

Assim:

r = y           h = y 2 3

Logo:

V = 2 π ∫ 0 8 y ⋅ ( y 2 3 )   d y

Os limites de integração são esses já que y varia de 0 a 8 na região limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 8 y ⋅ ( y 2 3 )   d y

= 2 π ∫ 0 8 y 5 3   d y

= 2 π 3 8 y 8 3 0 8

= 2 π 3 8 8 8 3 - 0

= 2 π 3 8 256

= 2 π 96 = 192 π

Resposta

V = 192 π

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