Resolva a inequação

e) x^2 - x - 2 >= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x 1 e x 2 são:

x 1 = - b + Δ 2 a ; e   x 2 = - b - Δ 2 a .

Como para esse polinômio a = 1 , b = - 1 e c = - 2 o valor de Δ é:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1 2 - 4.1 . - 2 = 9

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x 1 = - - 1 + 9 2.1 = 1 + 3 2 = 2

x 2 = - - 1 - 9 2.1 = 1 - 3 2 = - 1

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = - 1 e x = 2 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio x 2 - x - 2 troca de sinal em x = - 1 e em x = 2 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = - 1 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = - 2 temos: ( - 2 ) 2 - 1 . - 2 - 2 > 0

    Testando para valores maiores, por exemplo x = 0 temos: 0 2 - 1.0 - 2 < 0

  • Para x = 2 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 3 temos: 3 2 - 1.3 - 2 > 0

Resumindo temos: antes de x = - 1 positivo, entre - 1 e 2 negativo e depois de 2 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores positivos ( incluindo o zero!!) então o intervalo de interesse é antes de x = - 1 e depois de x = 2 e em ambos lados fechados:

x ≤ - 1   o u   x ≥ 2

Beleza?

Resposta

x ≤ - 1   o u   x ≥ 2

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