Calcule a integral.

∫ 1 4 2 + x 2 x d x

Passo 1

Oie, ótimo dia para calcularmos uma integral 😜!

Precisamos calcular o valor da integral definida

∫ 1 4 2 + x 2 x d x .

Para isso, vamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Você se lembra dela? Se não, sem problemas! Saca só:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então
  • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    Observe que no nosso caso a = 1 , b = 4 e

    f x = 2 + x 2 x .

    Pra facilitar o nosso trabalho, podemos reescrever a função f , lembrando das propriedades de potência, da seguinte forma:

    f x = 2 x - 1 2 +   x 3 2 .

    Então, precisamos apenas encontrar uma primitiva F da função f   e fazer as contas necessárias, beleza? Pra isso, vamos utilizar a Regra da Potência:

  • Para n ≠ - 1 , uma primitiva da função x n é

F x = x n + 1 n + 1

Vamos calcular essa integral? Prometo que vai ser tranquilo 😎!

Passo 2

Começamos encontrando uma primitiva da função

f x = 2 x - 1 2 + x 3 2 .

Aplicando a regra da potência em cada termo, temos que

F x = 2 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + x 3 2 + 1 3 2 + 1

é uma primitiva da função f .

Simplificando, ficamos com

F x = 4 x 1 2 + 2 x 5 2 5 .

Logo, como pela Parte 2 do Teorema Fundamental temos que

∫ 1 4 f ( x ) d x = F 4 - F 1 ,

e temos também que

F 4 = 4 ⋅ 4 1 2 + 2 ⋅ 4 5 2 5 = 8 + 64 5 = 104 5

e

F 1 = 4 ⋅ 1 1 2 + 2 ⋅ 1 5 2 5 = 4 + 2 5 = 22 5 ,

então o valor da integral é

∫ 1 4 2 + x 2 x d x = 104 5 - 22 5 = 82 5 .

Resposta

O valor da integral é

∫ 1 4 2 + x 2 x d x = 82 5 .

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