Avalie a integral.

∫ 0 1 1 - 8 v 3 + 16 v 7 d v

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 1 - 8 v 3 + 16 v 7 d v = ∫ 1 d v + ∫ - 8 v 3 d v + ∫ 16 v 7 d v

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ 1 d v + ∫ - 8 v 3 d v + ∫ 16 v 7 d v = v - 8 ∫ v 3 d v + 16 ∫ v 7 d v + C =

= v - 8 ⋅ v 3 + 1 3 + 1 + 16 ⋅ v 7 + 1 7 + 1 + C = v - 8 ⋅ v 4 4 + 16 ⋅ v 8 8 + C = v - 2 v 4 + 2 v 8 + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 1 1 - 8 v 3 + 16 v 7 d v = v - 2 v 4 + 2 v 8 0 1 = 1 - 2 ⋅ 1 4 + 2 ⋅ 1 8 - 0 - 2 ⋅ 0 4 + 2 ⋅ 0 8 = 1 - 2 + 2 = 1

Resposta

∫ 0 1 1 - 8 v 3 + 16 v 7 d v = 1

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