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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 22

Avalie a integral.

int_0^1 (1 - 8 v^3 + 16 v^7) d v

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int 1 - 8 v^3 + 16 v^7 d v = int 1 d v + int - 8 v^3 d v + int 16 v^7 d v

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int 1 d v + int - 8 v^3 d v + int 16 v^7 d v = v - 8 int v^3 d v + 16 int v^7 d v + C =

= v - 8 * (v^(3 + 1))/(3 + 1) + 16 * (v^(7 + 1))/(7 + 1) + C = v - 8 * (v^4)/(4) + 16 * (v^8)/(8) + C = v - 2 v^4 + 2 v^8 + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^1 (1 - 8 v^3 + 16 v^7) d v = (v - 2 v^4 + 2 v^8)_0^1 = 1 - 2 * 1^4 + 2 * 1^8 - (0 - 2 * 0^4 + 2 * 0^8) = 1 - 2 + 2 = 1

Resposta

int_0^1 (1 - 8 v^3 + 16 v^7) d v = 1

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