Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 24
Resolva o problema 23 supondo que a solução seja drenada a uma taxa de 10 litros por minuto. Quando o tanque estará vazio?
Passo 1
Bora lá?
Lá na equação 11 do seu livro, ele fala que em problemas do tipo, temos:
A taxa de entrada de sal é:
Depois de minutos, temos litros de água no tanque, então a taxa de saída é:
Então, a equação vai ser
Como a água é pura, ou seja, não tinha sal a princípio, temos
Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato , olha:
Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Substituindo o que temos na equação :
Agora vamos aplicar a condição inicial, beleza?
Passo 2
Temos
Aplicando a condição inicial de que :
Então, a quantidade pode ser escrita assim:
Agora vamos só ver quando tempo leva pra esvaziar beleza?
Passo 3
A quantidade de água no tanque é dada por
Para sabermos quando o tanque esvazia, vamos ver em que tempo temos :
Abrindo o produto notável
Agora vamos distribuir a multiplicação
E então temos a equação:
E aí temos duas soluções:
Como ta falando justamente da condição inicial, vamos ignorar
Então, o tanque esvazia em
E acabamos hehehe
Resposta
Esvazia em