Enunciado

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum?

d 2 y d x 2 + 4 d y d x + 20 y = 0

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y ' ' �� + b y ' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

r 2 + 4 r + 20 = 0

Vamos manipular essa equação:

r 2 + 4 r + 20 = 0 → r 2 + 4 r + 4 = - 16 → r + 2 2 = - 16 → r + 2 = ± 4 i

Temos que as raízes são r 1 = - 2 + 4 i e r 2 = - 2 - 4 i portanto como raizes complexas vamos usar a equação 11 :

r 1 = α + i β

r 2 = α - i β

y = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x = e - 2 x c 1 cos ⁡ 4 x + c 2 sen ⁡ 4 x

Temos que f x = e - 2 x c 1 cos ⁡ 4 x e g x = e - 2 x c 1 sen ⁡ 4 x são as soluções básicas, e temos o gráfico abaixo onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Vamos fazer agora de mais duas soluções:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

Resposta

Gráfico da solução básica onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

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