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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 18

Resolva o problema de valor inicial.

y^(' ') + 3 y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = 3

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y^(' ' ) + b y^' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

r^2 + 3 = 0 -> r = +- sqrt(- 3) -> r = +- sqrt(3) i

Temos que as raízes são r_1 = - sqrt(3) i e r_2 = sqrt(3) i , portanto como são raízes complexas vamos usar a equação 11 :

r_1 = alpha + i beta

r_2 = alpha - i beta

y = e^(alpha x) (c_1 cos beta x + c_2 sen beta x) = e^(0 . x) (c_1 cos sqrt(3) x + c_2 sen sqrt(3) x) = c_1 cos sqrt(3) x + c_2 sen sqrt(3) x

Temos agora duas condições para substituir e achar os valors de c_1 e c_2 , mas primeiro vamos derivar y :

y^' = - c_1 sqrt(3) sen sqrt(3) x + sqrt(3) c_2 cos sqrt(3) x

Passo 2

Pronto, vamos agora substituir:

y (0) = 1 -> c_1 cos sqrt(3) . 0 + c_2 sen sqrt(3) . 0 = 1 -> c_1 = 1

y^' (0) = 3 -> - c_1 sqrt(3) sen sqrt(3) . 0 + sqrt(3) c_2 cos sqrt(3) . 0 = 3 -> sqrt(3) c_2 = 3 -> c_2 = sqrt(3)

Agora é só substituir de volta:

y = c_1 cos sqrt(3) x + c_2 sen sqrt(3) x = cos sqrt(3) x + sqrt(3) sen sqrt(3) x

Resposta

y = cos sqrt(3) x + sqrt(3) sen sqrt(3) x

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Resolva a equação (overset(˙)(x) = (d x)/(d t) e overset(¨)(x) = (d^2 x)/(d t^2)) a ) (d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 5 x = 0
Resolva a equação i ) overset(¨)(y) + 6 overset(˙)(y) + 10 y = 0
Resolva a equação l ) overset(¨)(y) - 6 overset(˙)(y) + 5 = 0
Resolva a equação b ) overset(¨)(x) + 9 x = 0
Resolva a equação o ) overset(¨)(y) + 3 overset(˙)(y) + 3 y = 0