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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 53

Exercício: 53 – Calcule o problema de valor inicial determinando x e função de t:

t 2 + 2 t d x d t = 2 x + 2   ,   ( x ,   t > 0 )     x 1 = 1

Passo 1

Para resolver este problemas primeiro precisamos achar x e relizar as integrais, observe:

∫ d x 2 x + 2 = ∫ d t t 2 + 2 t

∫ d x 2 ( x + 1 ) = ∫ d t t 2 + 2 t ; 1 2 ∫ d x x + 1 = ∫ d t t ( t + 2 )

1 2 ln ⁡ x + 1 = ∫ 1 t ( t + 2 ) d t

Passo 2

Utilizando pelo método de frações parciais:

1 t ( t + 2 ) = A t + B t + 2

Tirando mmc:

1 t ( t + 2 ) = A t + 2 + B ( t ) t ( t + 2 )

Poderemos simplificar os denominadores e ficaremos com:

1 = A t + 2 + B t

Realizando a forma distributiva:

1 = A t + 2 A + B t

Agrupando os conjuntos:

1 = A + B t + 2 A

Assim formamos o sistema de equações:

A + B = 0 2 A = 1

Resolvendo assim, teremos:

A ,   B = 1 2 ,   - 1 2

1 t ( t + 2 ) = 1 2 t + - 1 2 t + 2 = 1 2 t - 1 2 ( t + 2 )

1 2 ln ⁡ x + 1 = ∫ 1 2 t - 1 2 t + 2 d t

Passo 3

1 2 ln ⁡ x + 1 = ∫ 1 2 t - 1 2 t + 2 d t

1 2 ln ⁡ x + 1 = 1 2 ∫ 1 t d t - 1 2 ∫ 1 t + 2 d t

Resolvendo as integrais:

1 2 ln ⁡ x + 1 + C 1 = 1 2 ln ⁡ t - 1 2 ln ⁡ t + 2 + C 2

Passo 4

1 2 ln ⁡ x + 1 + C 1 = 1 2 ln ⁡ t - 1 2 ln ⁡ t + 2 + C 2

Simplificando, multiplicando todos os termos por 2:

ln ⁡ x + 1 = ln ⁡ t - ln ⁡ t + 2

Para t = 1, x =   1

ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 + C

ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1 3 + C

ln ⁡ 2 = ln ⁡ 3 - 1 + C

ln ⁡ 2 = - ln ⁡ 3 + C

- C =   - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

- C = - ln ⁡ 6 ; C = ln ⁡ 6

Assim:

ln ⁡ x + 1 = ln 6 ⁡ t t + 2

x + 1 = 6 t t + 2 ; x = 6 t t + 2 - 1

Resposta

x = 6 t t + 2 - 1

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