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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 19

Resolva o problema de valor inicial x y^' = y + x^2 s e n (x) , y (pi) = 0 .

Passo 1

Dividindo ambos os termos por x , temos y^' - (1)/(x) y = x s e n ( x ) então a EDO é linear, com P (x) = - (1)/(x) e Q (x) = x s e n ( x ) .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int - (1)/(x) t d t) = e^(- ln x) = (1)/(x)

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = (1)/(x) e que Q (x) = x s e n (x) .

Passo 4

Então precisamos calcular int (1)/(x) x s e n (x) d x = int s e n (x) d x = - cos (x) . Então y (x) = x [- c o s ( x ) + C] .

Passo 5

Sabemos que y (pi) = 0 e que cos (pi) = - 1 . Então pi [- (- 1) + C] = 0 . segue que C = - 1 , então a nossa resposta é

y (x) = x [- cos (x) - 1]

y (x) = - x [cos (x) + 1]

Resposta

y (x) = - x [c o s ( x ) + 1]

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