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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 7

Resolva a equação diferencial:

x (x - 1) d y - y d x = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar o que tem y pra um lado e o que tem x para o outro:

x (x - 1) d y - y d x = 0 -> x (x - 1) d y = y d x -> (d y)/(y) = (d x)/(x ( x - 1 ))

Agora nós integramos os dois lados...

Passo 2

int (d y)/(y) = ln y

int (d x)/(x ( x - 1 )) = int - (1)/(x) + (1)/(x - 1) d x = - ln x + ln ( x - 1 )

E acrescentamos a constante C...

(d y)/(y) = (d x)/(x ( x - 1 )) -> ln y = - ln x + ln ( x - 1 ) + C

Vamos colocar a constante em logaritmo também: C = ln C_1 ...

ln y = - ln x + ln ( x - 1 ) + ln C_1

Passo 3

Agora a gente usa as propriedades do logaritmo pra “juntar” tudo:

ln y = ln ((C_1 (x - 1))/(x))

E agora a gente pode “cortar” o logaritmo dos dois lados e...

y = (C_1 ( x - 1 ))/(x)

Essa é a solução da equação diferencial.

Resposta

y = (C_1 ( x - 1 ))/(x)

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