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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1g

Calcule

(d x)/(d t) = x + sin t , t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d x)/(d t) = x g (t) + f (t)

Teremos esse resultado:

x = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f (t) , o fator integrante será:

e^(- int g (t) d t)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int 1 d t) = e^(- t)

Assim fazemos:

(d x)/(d t) - x g (t) = f (t)

[(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t) = f (t) e^(- int g (t) d t)

Vemos que [(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t) = [(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t)

Assim:

[(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t)] = f (t) e^(- int g (t) d t)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t)] d t = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

x e^(- int g (t) d t) + k = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

x e^(- int g (t) d t) = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t + k

Por fim:

x = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para o e^(int g (t) d t) , teremos:

e^(int 1 d t) = e^t

Então, para o nosso caso teremos:

x = k e^(- t) + e^(- t) int sin t e^t d t

Passo 2

Vamos ficar com:

x = k e^(- t) + e^(- t) int sin t e^t d t

Podemos resolver por partes:

int sin t e^t d t = - e^t cos t - int e^t cos t d t

Podemos resolver novamente por partes:

int e^t cos t d t = e^t sin t - int sin t e^t d t

Substituindo:

int sin t e^t d t = - e^t cos t - (e^t sin t - int sin t e^t d t)

Temos dois dois lados o termo int sin t e^t d t , assim:

int sin t e^t d t + int sin t e^t d t = - e^t cos t - e^t sin t

2 int sin t e^t d t = - e^t cos t - e^t sin t

int sin t e^t d t = (1)/(2) (- e^t cos t - e^t sin t)

Voltando pra função x :

x = k e^(- t) + e^(- t) (1)/(2) (- e^t cos t - e^t sin t) = k e^(- t) - (1)/(2) (cos t + sin t)

Resposta

x = k e^(- t) - (1)/(2) (cos t + sin t)

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